Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+3}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Chứng minh $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne -3$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d:y=7x+9$.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho hàm số $f(x)=x^3-2x^2+3x+1$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) Đạo hàm của hàm số là $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$.

b) Giá trị của hàm số tại $x=0$ bằng 7.

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là $y=7x-7$.

d) Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=3x+1$.

Cho hàm số $y=\frac{x^3}{3}+3x^2-2$ có đồ thị là $(C)$. Khi đó, các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ có hệ số góc $k=-9$ là $y-16=-9(x+3)$.

b) Số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $k=0$ là 2.

c) Với $k<-9$ thì đồ thị $(C)$ luôn có phương trình tiếp tuyến.

d) Với $k>-9$ thì đồ thị $(C)$ có 1 phương trình tiếp tuyến.

Cho đồ thị $(C)$: $y=\frac{2x+3}{x-2}$; $M(1;-5)$; điểm $N\in (C)$ có hoành độ bằng 3. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hệ số góc của tiếp tuyến với $(C)$ tại điểm $M$ bằng $-7$.

b) Tung độ tiếp điểm $N$ bằng $-5$.

c) Tiếp tuyến với $(C)$ tại $M$ song song với đường thẳng $d_1:y=-7x+17$.

d) Có hai tiếp tuyến với $(C)$ vuông góc với đường thẳng $d_2:16x-7y+35=0$.

Cho hàm số $y=x^4+2x^2-1$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d$: $y=\frac{x}{8}-2022$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $2f(5-x)+xf(x)=2x$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng 5.