Cho hình chóp $S.ABCD$ với $M$ là một điểm trên cạnh $SC$, $N$ là một điểm trên cạnh $BC$. Gọi $O=AC\cap BD$ và $K=AN\cap CD$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Xét hình chóp $S.ABCD$, $M\in SC$, $N\in BC$, $O=AC\cap BD$, $K=AN\cap CD$.

a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ta có $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ và $AC\cap BD=O$, nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SO$. → Đúng.

b) Đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, còn $(SAC)\cap (SBD)=SO$. Trong tam giác $SAC$, $M$ nằm trên cạnh $SC$, $O$ nằm trên cạnh $AC$, nên hai đường thẳng $AM$ và $SO$ là hai đường thẳng đồng phẳng không song song, chúng cắt nhau tại một điểm $P$ nằm trong tam giác $SAC$, tức $P$ thuộc đoạn $SO$. Vậy giao điểm của $AM$ và $(SBD)$ nằm trên cạnh $SO$. → Đúng.

c) $M\in SC$ nên $M\in (SCD)$ và $M\in (AMN)$. $K=AN\cap CD$ nên $K\in AN\subset (AMN)$ và $K\in CD\subset (SCD)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $M$, $K$ phân biệt, vậy giao tuyến là $KM$. → Đúng.

d) $SD$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, mà $(SCD)\cap (AMN)=KM$ (theo c), nên giao điểm của $SD$ và $(AMN)$ là giao điểm của $SD$ và $KM$. Trong mặt phẳng $(SCD)$ xét tam giác $SCD$: $M$ nằm trên cạnh $SC$, $K$ nằm trên cạnh $CD$, nên đoạn $MK$ nằm trong tam giác và không cắt cạnh $SD$ tại điểm trong (chỉ gặp $SD$ khi $M\equiv S$ hoặc $K\equiv D$). Do đó $SD$ cắt đường thẳng $KM$ tại điểm nằm ngoài đoạn $KM$ (trên phần kéo dài), không nằm trên cạnh $KM$. → Sai.

Kết luận: a đúng, b đúng, c đúng, d sai.