(2 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap $(AD\parallel BC)$, $AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK=2KB$, $G$ là trung điểm $SD$, $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$.

b. Gọi $L$ là giao điểm của mặt phẳng $(KOH)$ và đường thẳng $SD$. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III): Hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thap $AD\parallel BC$, $AD=2BC$; $O=AC\cap BD$; $K\in AB$ với $AK=2KB$; $G$ trung điểm $SD$; $H$ trọng tâm tam giác $SAD$.

a) Ta có $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$ nên $AH$ là đường trung tuyến, do đó $AH$ đi qua trung điểm của $SD$, tức là đi qua $G$. Suy ra $G\in (AHK)$. Mặt khác $G\in SD\subset (SBD)$. Ngoài ra $B\in AK\subset (AHK)$ (vì $K\in AB$) và $B\in (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$ có hai điểm chung $B$, $G$, nên giao tuyến là đường thẳng $BG$.

b) Xét tam giác $ABD$: vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên các đường chéo cắt nhau tại $O$ với $DO:OB=AD:BC=2:1$, tức $BO/BD=1/3$. Lại có $BK/BA=KB/AB=1/3$ (vì $AK=2KB$). Suy ra $BK/BA=BO/BD=1/3$, theo định lý Thales ta có $KO\parallel AD$.
Mặt khác $AD\subset (SAD)$, do đó mặt phẳng $(KOH)$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ theo giao tuyến $d$ đi qua $H$ và song song với $AD$. Trong tam giác $SAD$, $H$ là trọng tâm nên đường thẳng qua $H$ song song với $AD$ cắt $SD$ tại $L$ với $SL/SD=2/3$ (đường thẳng qua trọng tâm song song với cạnh cắt hai cạnh bên theo tỉ số $2/3$ tính từ đỉnh). Suy ra $DL/SD=1/3$.
Vì $G$ là trung điểm $SD$ nên $DG/SD=1/2$. Do đó $DL/DG=(1/3)/(1/2)=2/3$. Đpcm.

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B=0$, $A=a$, $C=c$, $D=a+2c$; $K=a/3$, $O=(a+2c)/3$, $H=(S+2a+2c)/3$. $L=(1/3)S+(2/3)D=(S+2a+4c)/3$ thuộc mặt phẳng $(KOH)$ (biểu diễn được $L=-K+O+H$... chính xác $L=-K+O+H$ với hệ số tổng bằng 1 sau khi chuẩn hóa), và $DL/DG=2/3$. Kết quả khớp.