Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=2\sqrt{3}a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,2a,0), C(2a,2a,0), S(0,0,2√3a).
a) Đúng: BC⊥AB (đáy vuông) và BC⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB.
b) Sai: Vì BC∥AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD, tức góc ∠SDA của tam giác vuông SAD. Ta có tan∠SDA = SA/AD = 2√3a/2a = √3 ⇒ góc bằng 60°, không phải 30°.
c) Đúng: BD⊥AC (hai đường chéo hình vuông) và BD⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) ⇒ BD⊥(SAC).
d) Đúng: Tính tọa độ. H là hình chiếu của A trên SB: với S(0,0,2√3a), vectơ SB=(2a,0,−2√3a), |SB|²=16a², tham số t=3/4 ⇒ H=(3a/2, 0, √3a/2). Tương tự K=(0, 3a/2, √3a/2). I là hình chiếu của A trên SC: SC=(2a,2a,−2√3a), |SC|²=20a², t=3/5 ⇒ I=(6a/5, 6a/5, 4√3a/5). Vectơ HK=(−3a/2, 3a/2, 0), vectơ AI=(6a/5, 6a/5, 4√3a/5). Tích vô hướng HK·AI = (−3a/2)(6a/5)+(3a/2)(6a/5)+0 = 0 ⇒ HK⊥AI. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥AB và BC⊥SA ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD = ∠SDA với tan∠SDA = 2√3a/2a = √3 ⇒ góc bằng 60°, không phải 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥AC và BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ H=(3a/2,0,√3a/2), K=(0,3a/2,√3a/2), I=(6a/5,6a/5,4√3a/5), ta có HK·AI = 0 ⇒ HK⊥AI.