Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $I$.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$
3. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $ABI$, $K$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $SB=3SK$.
a) Chứng minh $MK\parallel (SAC)$
b) Chứng minh $(MNK)\parallel (SAC)$.
c) Tìm $H$ là giao điểm của $DK$ và $(SAC)$. Tính $\frac{HK}{HD}$.
d) Tìm $E$ là giao điểm của $SA$ và $(DKN)$. Tính $\frac{ES}{EA}$.
4. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song mặt phẳng $(SDC)$. Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt của hình chóp.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Bài 21 (AI viết, vì PDF không có lời giải chi tiết).

1) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$: Vì đáy là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $AB\parallel (SCD)$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa $S$, nên giao tuyến là đường thẳng $d$ qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$).

2) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$: Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ (tâm hình bình hành, trùng $I$). Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy giao tuyến là $SI$.

3) Chọn hệ vectơ: đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AD}=\vec{b},\overrightarrow{AS}=\vec{s}$, $A$ làm gốc.
- $M$ trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$.
- $I$ là trung điểm $AC$: $\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$; $N$ trọng tâm tam giác $ABI$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}}{3}=\frac{\vec{a}}{2}+\frac{\vec{b}}{6}$.
- $SK=\frac{1}{3}SB$: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AS})=\frac{2}{3}\vec{s}+\frac{1}{3}\vec{a}$.

a) $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{s}+\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}=\frac{1}{3}(2\vec{s}-(\vec{a}+\vec{b}))$. Mặt phẳng $(SAC)$ chứa hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$ và $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$, nên $\overrightarrow{MK}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ đó, tức $MK\parallel (SAC)$.

b) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}}{2}+\frac{\vec{b}}{6}-\frac{2\vec{a}}{3}-\frac{\vec{b}}{3}=-\frac{1}{6}(\vec{a}+\vec{b})=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$. Suy ra $MN\parallel AC\parallel (SAC)$. Mà $MK\parallel (SAC)$ (câu a), $MN\cap MK=M$, hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(SAC)$ nên $(MNK)\parallel (SAC)$.

c) Đường thẳng $DK$: $X(t)=\overrightarrow{AD}+t(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AD})=\vec{b}+t(\frac{2}{3}\vec{s}+\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b})$. $X\in (SAC)$ khi $X=\alpha \vec{s}+\beta (\vec{a}+\vec{b})$, so sánh hệ số: hệ số của $\vec{a}$: $t/3=\beta$; hệ số của $\vec{b}$: $1-t=\beta$. Suy ra $1-t=t/3\Rightarrow t=3/4$. Vậy $H$ nằm giữa $D$ và $K$ với $DH=\frac{3}{4}DK,HK=\frac{1}{4}DK$, do đó $\frac{HK}{HD}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$.

d) Điểm $E$ trên $SA$: $\overrightarrow{AE}=u\vec{s}$. $E\in (DKN)$: $u\vec{s}=\vec{b}+\lambda (\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AD})+\mu (\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD})$, với $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{s}+\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$, $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{5}{6}\vec{b}$. So sánh hệ số:
- theo $\vec{s}$: $u=\frac{2\lambda }{3}$;
- theo $\vec{a}$: $\frac{\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}=0$;
- theo $\vec{b}$: $1-\lambda -\frac{5\mu }{6}=0$.
Từ phương trình thứ hai: $\lambda =-\frac{3\mu }{2}$; thay vào thứ ba: $1=\lambda +\frac{5\mu }{6}=-\frac{2\mu }{3}\Rightarrow \mu =-\frac{3}{2},\lambda =\frac{9}{4},u=\frac{3}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AS}$, tức $E$ nằm trên tia $SA$ ngoài đoạn $AS$ với $ES=\frac{1}{2}AS,EA=\frac{3}{2}AS$, suy ra $\frac{ES}{EA}=\frac{1}{3}$.

4) Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song $(SDC)$. Vì $AB\parallel DC\subset (SDC)$ nên $AB\parallel (\alpha )$; vì $SD\subset (SDC)$ nên $SD\parallel (\alpha )$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$, nên $(\alpha )=M+\text{span}\{\vec{a},\vec{s}-\vec{b}\}$ (phương của $DC$ và $DS$). Xét từng mặt:
- Mặt đáy $(ABCD)$: giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song $AB$ (tức $DC$). Đường này cắt $AD$ tại $Q$ với $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ và cắt $BC$ tại $P$ với $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$; đoạn $QP$ đi qua $M$.
- Mặt $(SAD)$: giao tuyến là đường qua $Q$ song song $SD$ (vì $SD\parallel (\alpha )$), cắt $SA$ tại $R$ với $\overrightarrow{AR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}$; đoạn $QR\parallel SD$.
- Mặt $(SAB)$: giao tuyến là đường qua $R$ song song $AB$, cắt $SB$ tại chính điểm $K$ (vì $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{s}$ thỏa mãn); đoạn $RK\parallel AB$.
- Mặt $(SBC)$: giao tuyến là đoạn $KP$ nối $K$ (trên $SB$) với $P$ (trên $BC$); kiểm tra $\overrightarrow{KP}$ có phương song song $SD$.
- Mặt $(SCD)$: $(\alpha )\parallel (SDC)$ và khác nó ($M\notin (SDC)$) nên $(\alpha )$ không cắt mặt này.
Vậy thiết diện bởi $(\alpha )$ là tứ giác $QPKR$ ($Q\in AD$, $P\in BC$, $K\in SB$, $R\in SA$), là hình bình hành với $QP\parallel RK\parallel AB$ và $QR\parallel KP\parallel SD$.

Kiểm tra lại các tỉ số: câu c) $HK/HD=1/3$; câu d) $ES/EA=1/3$ — đều nhất quán với phép tính vectơ ở trên.