Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết khoảng cách giữa $SC$ và $BD$ bằng $\frac{2a\sqrt{2}}{5}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

+ $\{\begin{array}{l}(ABCD)\perp (SAB)\\ (ABCD)\cap (SAB)=AB\\ SH\subset (SAB)\\ SH\perp AB\end{array}\Rightarrow SH\perp (ABCD)$ (0,25 điểm; Ghi chú: Không cho điểm hình vẽ; Hs không vẽ hình vẽ văn cho 0,25)

+ Gọi E là trung điểm SA; F là trung điểm BO; $G=BE\cap SH$.

HI là đường cao tam giác GHF $\Rightarrow HI\perp GF$ (1)

+ Ta có: $\{\begin{array}{l}BD\perp GH\\ BD\perp HF(doHF//AO)\end{array}\Rightarrow BD\perp (GHF)\Rightarrow BD\perp HI$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $HI\perp (GBD)$ hay $HI\perp (EBD)$ (0,25 điểm)

+ Ta có: $SC//OE\Rightarrow SC//(EBD)$

Suy ra: $d(SC;BD)=d(SC;(EBD))=d(S;(EBD))$

$=2d(H;(EBD))$ (do G là trọng tâm tam giác SAB nên GS = 2 GH)

$=2HI$ (do $HI\perp (EBD)$)

$\iff \frac{2a\sqrt{2}}{5}=2HI\iff HI=\frac{a\sqrt{2}}{5}$ (0,25 điểm; Ghi chú: Hs lập luận khoảng cách tới ngang 2d(H;(EBD)) thì vẫn cho 0,25)

+ Ta có: $HF=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{4}AC=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

+ $\Delta GHF$ vuông tại H, HI là đường cao nên:

$\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{H{G}^2}+\frac{1}{H{F}^2}\iff \frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{5}\right)}^2}=\frac{1}{H{G}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2}\iff HG=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Suy ra: $SH=3HG=a\sqrt{2}$

Khi đó: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.a^2.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$. (0,25 điểm)