Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AD$ và $BC$, gọi $M$ là trung điểm $SA$. Biết $BM$ song song với mặt phẳng $(SCD)$. Tính tỉ số $\frac{AD}{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a=AD,b=BC$. Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AD}=a\vec{u}$, $\overrightarrow{BC}=b\vec{u}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{v}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$. Vì $M$ là trung điểm $SA$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{w}$, suy ra $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{w}-\vec{v}$. Ta có $\overrightarrow{SD}=\vec{w}-a\vec{u}$ và $\overrightarrow{SC}=\vec{w}-\vec{v}-b\vec{u}$. Điều kiện $BM\parallel (SCD)$ tức $\overrightarrow{BM}=\alpha \overrightarrow{SC}+\beta \overrightarrow{SD}$: $\frac{1}{2}\vec{w}-\vec{v}=\alpha (\vec{w}-\vec{v}-b\vec{u})+\beta (\vec{w}-a\vec{u})$. So sánh hệ số $\vec{v}$: $\alpha =1$; hệ số $\vec{w}$: $\alpha +\beta =\frac{1}{2}\Rightarrow \beta =-\frac{1}{2}$; hệ số $\vec{u}$: $0=-b-\beta a=-b+\frac{a}{2}\Rightarrow a=2b$. Vậy $\frac{AD}{BC}=2$. (Cách hình học: mặt phẳng $(ABM)$ cắt $(SCD)$ theo giao tuyến qua $M$ song song $SD$; kéo dài $BM$ cắt $CD$ tại $N$ với $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{SD}$, khi đó $BN$ là đường trung bình của hình thang nên $BN=\frac{AD+BC}{2}$, kết hợp $BM=\frac{BN}{2}$... dẫn cùng kết quả $AD=2BC$.) Đáp số: $2$.