Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Tính diện tích hình chiếu của tam giác $△SBC$ lên mặt phẳng $(SAC)$ biết $SA=AB=2a$; $AD=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(0;2a;0)$, $C(a;2a;0)$, $D(a;0;0)$, $S(0;0;2a)$ (vì $SA=AB=2a$, $AD=a$).
Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A$, chứa các vectơ $\overrightarrow{AC}=(a;2a;0)$ và $\overrightarrow{AS}=(0;0;2a)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=(4a^2;-2a^2;0)\parallel (2;-1;0)$, tức $(SAC)$: $2x-y=0$.
Hình chiếu của $B(0;2a;0)$ lên $(SAC)$: $B^{\prime }=B-\frac{2\cdot 0-2a}{2^2+(-1{)}^2}(2;-1;0)=\left(\frac{4a}{5};\frac{8a}{5};0\right)$. (Lưu ý: $BD$ không vuông góc với $AC$ vì hình chữ nhật này không vuông, nên hình chiếu của $B$ không phải trung điểm $AC$.)
Vì $S,C$ thuộc $(SAC)$, hình chiếu của $△SBC$ là $△S{B}^{\prime }C$.
Tính diện tích: $\overrightarrow{B^{\prime }S}=\left(-\frac{4a}{5};-\frac{8a}{5};2a\right)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\left(\frac{a}{5};\frac{2a}{5};0\right)$, nên $\overrightarrow{B^{\prime }S}\times \overrightarrow{B^{\prime }C}=\left(-\frac{4a^2}{5};\frac{2a^2}{5};0\right)$, độ dài $\frac{2a^2\sqrt{5}}{5}$.
Diện tích $△S{B}^{\prime }C=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a^2\sqrt{5}}{5}=\frac{a^2\sqrt{5}}{5}$.
Kiểm tra bằng góc giữa hai mặt phẳng: diện tích $△SBC=\frac{1}{2}\cdot SB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2a\sqrt{2}\cdot a=a^2\sqrt{2}$ (vuông tại $B$); pháp tuyến của $(SBC)$ là $(0;1;1)$, của $(SAC)$ là $(2;-1;0)$, $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}$; diện tích hình chiếu $=a^2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{a^2\sqrt{5}}{5}$. Hai cách cho cùng kết quả $\frac{a^2\sqrt{5}}{5}$.