Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính $V_{S.ABC}$.
b) Tính $d(B,(SAC))$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH\perp AB$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $(SAB)\perp (ABC)$ có giao tuyến $AB$ nên $SH\perp (ABC)$, tức $SH$ là chiều cao của khối chóp.

a) Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Thể tích:
$$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{8}.$$

b) Ta có $SA=a$ (tam giác $SAB$ đều), $AC=a$, và $S{C}^2=S{H}^2+H{C}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Diện tích tam giác $SAC$ (cân tại $A$... thực chất tính qua đường cao hạ từ $A$ xuống $SC$):
$$h^2=S{A}^2-{\left(\frac{SC}{2}\right)}^2=a^2-\frac{3a^2}{8}=\frac{5a^2}{8}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{10}}{4}.$$
$$S_{SAC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{4}=\frac{a^2\sqrt{15}}{8}.$$
Khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$:
$$d(B,(SAC))=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAC}}=\frac{3\cdot \frac{a^3}{8}}{\frac{a^2\sqrt{15}}{8}}=\frac{3a}{\sqrt{15}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}.$$

Kết luận: $V_{S.ABC}=\frac{a^3}{8}$ và $d(B,(SAC))=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.