Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $BC=4a$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, tính tan của góc giữa đường thẳng $SM$ với mặt phẳng $(ABC)$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a\sqrt{3}$, $AC=A{A}^{\prime }=a$. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$.

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA;EB;EC;ED$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\alpha$.

Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng $\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{F_3};\overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là $4800N$, trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là $7200\sqrt{6}N$. Tính $\sin \alpha$. (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột $AB$ có chiều dài bằng 6 m và tạo với mặt đất một góc $60^{\circ }$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài 3 m và vuông góc với cây cột như hình vẽ bên dưới.



Hỏi góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời $AC$ và mặt đất bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a\sqrt{2},BC=a,A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Khi đó giá trị của $\cos \phi$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$; $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Gọi $M$; $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên các cạnh $SB$ và $SD$.

a) Chứng minh $AM\perp SC$

b) Tính sin góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(AMN)$