Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$, khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Biết hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác $ABC$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó $BC\perp AM$ và $BC\perp SH$ (với $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$) nên $BC\perp (SAM)$. Suy ra $d(A,(SBC))=d(A,SM)$ và $d(SA,BC)=d(M,SA)$, cả hai đều bằng $\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Diện tích tam giác $SAM$ tính theo hai cách: $\frac{1}{2}SA\cdot d(M,SA)=\frac{1}{2}SM\cdot d(A,SM)$, suy ra $SA=SM$, tức $S$ nằm trên trung trực của $AM$. Trong mặt phẳng $(SAM)$, đặt $M(0,0)$, $A\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $S(x,h)$ với $x=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, $h=SH$.

Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SM$: $\frac{h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{SM}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$, suy ra $\frac{h}{SM}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, tức $h^2=\frac{4}{5}(x^2+h^2)\Rightarrow h^2=4x^2\Rightarrow h=2x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (hợp lệ vì $H$ nằm trong tam giác $ABC$).

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{8}$.