Cho hàm số $y=f(x)=\frac{3x^2+2x-5}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x^2+2x-5}{x+1}=\frac{(3x-1)(x+1)-4}{x+1}=3x-1-\frac{4}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$: $3x-1-\frac{4}{x+1}=k\iff 3x^2+(2-k)x-5-k=0$. Biệt thức $\Delta =(2-k{)}^2+12(5+k)=k^2+8k+64>0$ với mọi $k$ (vì $64-256<0$). Thử $x=-1$: $3-(2-k)-5-k=-4\ne 0$ nên không có nghiệm $x=-1$. Vậy mọi đường thẳng song song hoặc trùng trục hoành đều cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt → đúng.
b) ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$ → đúng.
c) $y=x$ cắt $(C)$: $x=3x-1-\frac{4}{x+1}\iff (1-2x)(x+1)=-4\iff 2x^2+x-5=0$. Theo Viète $S=x_1+x_2=-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{4}$ → sai.
d) Đồ thị $y=3x-1-\frac{4}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=3x-1$, tức $I(-1;-4)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm $3x^2+(2-k)x-5-k=0$ có $\Delta =k^2+8k+64>0$ với mọi $k$ và không có nghiệm $x=-1$, nên luôn cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{3x^2+2x-5}{x+1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2x^2+x-5=0$ cho $S=x_1+x_2=-\frac{1}{2}$, không phải $-\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $x=-1$ và $y=3x-1$, tức $I(-1;-4)$.