Cho hàm số $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$ xác định trên $[-1;3]$. Ta có $y^2=(x+1)+(3-x)+2\sqrt{(x+1)(3-x)}=4+2\sqrt{4-(x-1{)}^2}$. Vì $4-(x-1{)}^2\in [0;4]$ nên $y^2\in [4;8]$, suy ra $y>0$ nên $y\in [2;2\sqrt{2}]$. + GTNN $m=2$ đạt tại $x=-1$ hoặc $x=3$ → mệnh đề a đúng. + GTNN $M=2\sqrt{2}$ đạt tại $x=1$ (vì $(x+1)(3-x)$ lớn nhất bằng 4 khi $x=1$), không phải tại $x=-1$ (tại $x=-1$ thì $y=2$ là GTNN) → mệnh đề b sai. + $M+m=2\sqrt{2}+2\ne 4\sqrt{2}$ → mệnh đề c sai. + Bất phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-m\ge 0\forall x\in [-1;3]$ tương đương $m\le \min y=2$, tức $m\in (-\infty ;2]$ → mệnh đề d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
GTNN của hàm số bằng 2, đạt tại $x=-1$ và $x=3$ (vì $y^2=4+2\sqrt{4-(x-1{)}^2}\ge 4$).
b) (AI giải đề cho tôi)
GTLN $M=2\sqrt{2}$ đạt tại $x=1$, không phải tại $x=-1$; tại $x=-1$ hàm số đạt GTNN bằng 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M+m=2\sqrt{2}+2\ne 4\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình đúng với mọi $x\in [-1;3]$ khi và chỉ khi $m\le \min y=2$, tức $m\in (-\infty ;2]$.