Một công ty xây dựng muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm $A$ trên bờ đến một điểm $B$ trên một hòn đảo (như hình vẽ).



Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. $B^{\prime }$ là điểm trên bờ biển sao cho $B{B}^{\prime }$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $B^{\prime }$ là $9km$. Vị trí $C$ trên đoạn $A{B}^{\prime }$ sao cho khi nối ống theo $ACB$ thì số tiền ít nhất. Khi đó $C$ cách $A$ một đoạn bằng bao nhiêu?

Để thiết kế một bể cá hình hộp chữ nhật, không có nắp, có độ dài một cạnh ở đáy bằng $80cm$, thể tích $16000c{m}^3$, người thợ dùng loại kính để sử dụng mặt bên có giá thành 80000 đồng$/m^2$ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 đồng$/m^2$. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).

Từ một miếng bạt hình vuông cạnh 18 $m$ như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt đi phần tô đậm của tấm bạt rồi gấp và may lại (các đường may không đáng kể) để phủ lên tháp trang trí (có dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại khi trời mưa. Biết khối chóp hình thành sau khi gấp và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị).

Từ một miếng bạt hình vuông cạnh $24m$ như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt đi phần tô đậm của tấm bạt rồi gấp và may lại (các đường may không đáng kể) để phủ lên tháp trang trí (có dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại khi trời mưa. Biết khối chóp hình thành sau khi gấp và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị).

Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $a=24$ và $b=3$. Hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong $(C)$: $y=\frac{x+a}{x+b}$ bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong $(C)$ đi qua điểm $(2;3)$ và có đường tiệm cận đứng $x=1$. Hằng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường ${\Delta }_1:2x+y-4=0$ và ${\Delta }_2:x+2y-2=0$ cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí $M$ đó đến hai tuyến đường ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm $M$ là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $a=27m$ và $b=8m$. Hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần chục)