Cho hàm số $y=f(x)={\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)$.

a) Điều kiện xác định: $-x^2+26x>0\iff x(26-x)>0\iff 0<x<26$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(0;26)$, không phải $(-\infty ;0)\cup (26;+\infty )$. → Sai.

b) Với $u=-x^2+26x$, có $u^{\prime }=-2x+26$ và ${\log }_{\frac{1}{5}}u=\frac{\ln u}{\ln \frac{1}{5}}=\frac{\ln u}{-\ln 5}$. Do đó
$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{u\cdot (-\ln 5)}=\frac{-2x+26}{-(-x^2+26x)\ln 5}.$$ → Đúng.

c) $f(x)<-2\iff {\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)<-2$. Vì cơ số $\frac{1}{5}<1$ nên $-x^2+26x>{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=25\iff x^2-26x+25<0\iff 1<x<25$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,\dots ,24\}$, gồm $24-2+1=23$ nghiệm, không phải 22. → Sai.

d) $f(x)=-2\iff -x^2+26x=25\iff x^2-26x+25=0$. Hai nghiệm $x=1$ và $x=25$ (đều thuộc tập xác định), tổng theo Vi-ét bằng $26$. → Đúng.

Kết quả khớp với bảng đáp án SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $-x^2+26x>0\iff 0<x<26$, nên $\mathcal{D}=(0;26)$, không phải $(-\infty ;0)\cup (26;+\infty )$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{u\ln \frac{1}{5}}=\frac{-2x+26}{(-x^2+26x)(-\ln 5)}=\frac{-2x+26}{-(-x^2+26x)\ln 5}$. → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<-2\iff -x^2+26x>25\iff 1<x<25$, có 23 nghiệm nguyên ($x=2$ đến $24$), không phải 22. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-2\iff x^2-26x+25=0\iff x=1$ hoặc $x=25$; tổng bằng $26$. → Đúng.