Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình được tô đậm bằng

Nhằm thu hút du khách và khẳng định vị thế dẫn đầu, công viên nước Đầm Sen quyết định đầu tư xây dựng một đường trượt nước độc đáo có mặt cắt được gắn vào hệ trục $Oxy$ (xem trục Ox là mặt đất) với đơn vị mỗi trục là $1m$ như hình vẽ bên. Đường trượt được thiết kế theo hình dạng của một hàm bậc ba $y=g\left(x\right)$, với mục tiêu tối ưu hóa trải nghiệm người dùng một phần đường trượt được đặt dưới mặt đất để tận dụng địa hình và tạo hiệu ứng bất ngờ. Điểm đầu của đường trượt là $H\left(-3;a\right)$, điểm cuối là $K\left(8;0\right)$ và ngay dưới điểm $K$ là một bể bơi. Để tiếp cận đường trượt, một cầu thang cong có dạng Parabol $y=f\left(x\right)$ có đỉnh là điểm $M\left(-8;0\right)$ được xây dựng, đảm bảo độ dốc vừa phải và an toàn cho người sử dụng.



Các diện tích hình phẳng được tạo bởi từ đồ thị $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right),x=-3$ và trục hoành như hình bên. Để đảm bảo an toàn tuyệt đối cho người chơi và tính ổn định của công trình, các kỹ sư cần đặc biệt chú trọng đến phần đường trượt nằm dưới lòng đất. Hãy xác định độ sâu lớn nhất mà đường trượt chìm xuống so với mặt đất (đơn vị: mét), biết rằng $S_1+S_3=S_2+S_4+\frac{109}{12}$. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$, trục hoành và đường thẳng $x=1$ (như hình vẽ bên dưới) được tính theo công thức nào?

Diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x+x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$ có dạng $S_{(H)}=e-\frac{a}{b}$ (với $e$ là cơ số của logarit Nê-pơ; $a,b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản). Tính tổng $S=2026(a+b)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ có diện tích $S$ là:

Đường gấp khúc $ABC$ trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$.



Tính $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại ba điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ $(x_1<x_2<x_3)$. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành là