Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2x+1$ có đồ thị là $(C)$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M\left(1;\frac{1}{3}\right)$ là:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $(C):y={\log }_{2}x$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục hoành. Tìm hệ số góc của $d$. (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=f(x)=\ln \left(x^2-2x\right)$ có đồ thị (C)

Một kỹ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó là một cung đường cong có dạng Parabol được mô tả bởi hàm số $y=-0,001x^2-0,05x$, trong đó $x$ là khoảng cách theo phương ngang từ điểm bắt đầu $P$ của đường ray (mét) và $y$ là độ cao tương ứng (mét). Tại điểm cách điểm bắt đầu $50m$ theo phương ngang, để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, kỹ sư xây dựng một đoạn dốc xuống $L2$ tiếp tuyến với cung đường cong. Kết thúc đoạn dốc xuống này là một cửa hầm tại vị trí $Q$ có khoảng cách theo phương ngang từ điểm bắt đầu là $70m$. Hãy tính khoảng cách từ điểm bắt đầu $P$ của đường ray đến vị trí cửa hầm $Q$, theo đơn vị mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

Một kỹ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó là một cung đường cong có dạng Parabol được mô tả bởi hàm số $y=-0,002x^2-0,04x$, trong đó $x$ là khoảng cách theo phương ngang từ điểm bắt đầu $P$ của đường ray (mét) và $y$ là độ cao tương ứng (mét). Tại điểm cách điểm bắt đầu $60m$ theo phương ngang, để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, kỹ sư xây dựng một đoạn dốc xuống $L2$ tiếp tuyến với cung đường cong. Kết thúc đoạn dốc xuống này là một cửa hầm tại vị trí $Q$ có khoảng cách theo phương ngang từ điểm bắt đầu là $80m$. Hãy tính khoảng cách từ điểm bắt đầu $P$ của đường ray đến vị trí cửa hầm $Q$, theo đơn vị mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)=x^3-2x^2-3$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một kỹ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó là một cung đường cong có dạng Parabol được mô tả bởi hàm số $y=-0,001x^2-0,05x$, trong đó $x$ là khoảng cách theo phương ngang từ điểm bắt đầu $P$ của đường ray (mét) và $y$ là độ cao tương ứng (mét). Tại điểm cách điểm bắt đầu 50m theo phương ngang, để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, kỹ sư xây dựng một đoạn dốc xuống $L2$ tiếp tuyến với cung đường cong. Kết thúc đoạn dốc xuống này là một cửa hầm tại vị trí $Q$ có khoảng cách theo phương ngang từ điểm bắt đầu là 70m. Hãy tính khoảng cách từ điểm bắt đầu $P$ của đường ray đến vị trí cửa hầm $Q$, theo đơn vị mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).