Cho hàm số $f(x)=2024\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2024}}+\sqrt{\mathrm{e}}\right)$. Giá trị của biểu thức $T=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+...+f^{\prime }(2025)$ là

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{e^{x/2024}}{e^{x/2024}+\sqrt{e}}$. Đặt $t=e^{1/2024}$, khi đó $f^{\prime }(k)=\frac{t^k}{t^k+\sqrt{e}}$. Với mỗi $k$, do $t^k\cdot t^{2025-k}=e$ nên $f^{\prime }(k)+f^{\prime }(2025-k)=\frac{u}{u+\sqrt{e}}+\frac{e/u}{e/u+\sqrt{e}}=\frac{u}{u+\sqrt{e}}+\frac{\sqrt{e}}{u+\sqrt{e}}=1$. Do đó tổng $k=1$ đến $2024$ ghép thành $1012$ cặp, mỗi cặp bằng $1$, cộng thêm số hạng giữa $f^{\prime }(2025)=\frac{e}{e+\sqrt{e}}=\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}+1}$. Vậy $T=1012+\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}+1}$.