Cho hàm số $f(x)=\ln \left(\frac{x}{x+2}\right)$. Tổng $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(3)+f^{\prime }(5)+\dots +f^{\prime }(2025)=\frac{a}{b}$. Tính $\frac{a+1}{b}$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\ln x-\ln (x+2)$ nên $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$. Tổng các số lẻ từ 1 đến 2025 có 1013 số hạng:
$$S=\sum _{k=0}^{1012}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$
Trừ khử liên tiếp (telescoping): mỗi số hạng $-\frac{1}{2k+3}$ triệt tiêu với $+\frac{1}{2k+3}$ của số hạng kế tiếp, chỉ còn số đầu và số cuối:
$\frac{a+1}{b}$=$\frac{2026+1}{2027}$=$\frac{2027}{2027}$=1.$$
Vậy kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $1$.