Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=3$. Giá trị của tích phân ${\int }_0^{3}2f(x)dx$ là

Câu 4. Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số:
$y=(0,00061x^2+0,0218x+1,723{)}^2,0\le x\le 100$
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, $8^{\text{th}}$ edition, Cengage Learning, 2009)
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=-4$ thì ${\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng

Cho tích phân $I={\int }_1^2\frac{x^3-3x^2+2x}{x+1}dx=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm xác định trên $(0;+\infty )$. Biết rằng $f(x)>0$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)(\ln f(x)+1)+x(f^{\prime }(x)-2xf(x))=0$ và $\ln (f(2))-\ln (f(1))=1$. Giá trị tích phân ${\int }_1^{2}xf(x)dx$ nằm trong khoảng nào dưới đây.

Câu 3. Cho hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-2$ và $y=g(x)=d{x}^2+ex+2$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1$.



Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?