Cho hàm số $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}(3x+4)$.

Điều kiện xác định $3x+4>0\iff x>-\frac{4}{3}$, nên tập xác định của hàm số là $D=\left(-\frac{4}{3};+\infty \right)\supset (0;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(3x+4)\ln 2}<0,\forall x\in D$ nên hàm số nghịch biến trên $D$.
- a) Đúng: Vì $f(x)$ nghịch biến trên $[2;+\infty )$ nên ${\max }_{[2;+\infty )}f(x)=f(2)={\log }_{\frac{1}{2}}10=-{\log }_{2}10=-1-{\log }_{2}5$.
- b) Đúng: Xét $g(x)=f(x)+x^2-\frac{7}{2}x+2$ trên $\left(-\frac{4}{3};+\infty \right)$. Ta có $g^{\prime \prime }(x)=\frac{9}{(3x+4{)}^2\ln 2}+2>0,\forall x\in D$, suy ra $g(x)=0$ có tối đa $2$ nghiệm. Mà $g(0)={\log }_{\frac{1}{2}}4+2=0$ và $g(4)={\log }_{\frac{1}{2}}16+16-14+2=0$, nên $g(x)<0\iff x\in (0;4)$.
- c) Sai: Tập xác định là $D=\left(-\frac{4}{3};+\infty \right)$.
- d) Đúng: Hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};+\infty \right)$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$.