Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ có $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4$ và số đo góc giữa hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ bằng $60^{\circ }$. Tích vô hướng $(-2\vec{a})\cdot \vec{b}$ bằng

Xét Trái Đất trong không gian $Oxyz$, với $O$ là tâm Trái Đất, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực bắc $N$, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6371\text{ km}$ trong thực tế. Biết rằng nếu điểm $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{ N};{\beta }^{\circ }\text{ E}(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì điểm $M$ có tọa độ là $M(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $17,0045^{\circ }\text{ N};107,0517^{\circ }\text{ E}$ và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $10,777^{\circ }\text{ N};106,695^{\circ }\text{ E}$ (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;2)$. Độ dài đoạn $OA$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}$ bằng

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn điều kiện $|\vec{a}|=|\vec{b}|=2$ và $(\vec{a},\vec{b})=60^{\circ }$. Tính tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Một trạm X có chức năng thu – phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là 2 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 km. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}$. Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu kílômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ ${\vec{u}}_1(1;1;-4)$, ${\vec{u}}_2(0;1;1)$. Góc giữa hai vectơ đã cho bằng