Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x>\frac{y}{3}>0$ và $3x+y+3xy\ge 7$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=9x^2+\frac{1}{4}(3x+5y{)}^2-2\ln \left(1+30xy-5y^2\right)$ bằng $a-\ln b$ với $a,b$ là các số tự nhiên. Tính giá trị $a-b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=3x,v=y$. Điều kiện $x>\frac{y}{3}>0$ trở thành $u>v>0$; ràng buộc $3x+y+3xy\ge 7$ trở thành $u+v+uv\ge 7$; và $$P=u^2+\frac{1}{4}(u+5v{)}^2-2\ln \left(1+10uv-5v^2\right).$$ Xét $P$ như hàm theo $u$ với $v$ cố định: $\frac{\partial P}{\partial u}=2u+\frac{u+5v}{2}-\frac{20v}{1+10uv-5v^2}$. Với $u>v>0$ và $u+v+uv\ge 7$ thì $1+10uv-5v^2>0$ và $\frac{20v}{1+10uv-5v^2}\le \frac{20v}{10uv-5v^2}=\frac{4}{2u-v}<\frac{4}{u}<2u+\frac{u+5v}{2}$ (do $u>\sqrt{8}-1>1$), nên $P$ tăng theo $u$ tại mọi điểm trong miền ràng buộc. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt trên biên $u+v+uv=7$, tức $v=\frac{7-u}{u+1}$ với $u>v\iff u^2+2u-7>0\iff u>\sqrt{8}-1$. Thay vào $P$ được hàm một biến $f(u)$; khảo sát đạo hàm $f^{\prime }(u)$ cho thấy $f$ đạt nhỏ nhất tại $u=3,v=1$ (tức $x=1,y=1$, thỏa $x>y/3>0$ và $3x+y+3xy=7$). Khi đó: $u^2=9$, $\frac{1}{4}(u+5v{)}^2=\frac{1}{4}\cdot 64=16$, $1+10uv-5v^2=1+30-5=26$, nên $$P_{\min }=9+16-2\ln 26=25-\ln 676.$$ Vậy $a=25,b=676$, do đó $a-b=25-676=-651$.