Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn hệ thức $2^{2y-x^2}={\log }_{2y+1}x$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên $m\in [-2022;2022]$ để tồn tại duy nhất một số thực $x$ thỏa mãn hệ thức $4y^2=10x^2+mx+1$?

Từ phương trình hàm đặc trưng $2^{2y-x^2}={\log }_{2y+1}x$, xét hàm số chứng minh được $2y+1=x^2+1\iff 2y=x^2$. Thay vào hệ thức thứ hai: $(x^2{)}^2=10x^2+mx+1\iff x^4-10x^2-mx-1=0\iff m=\frac{x^4-10x^2-1}{x}$. Khảo sát hàm số tìm các giá trị của $m$ để có duy nhất một nghiệm, ta đếm được 2035 giá trị nguyên của $m\in [-2022;2022]$. Chọn D.