Cho hai hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ và $y=g(x)=-x^2+x$.



Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$; với $S$ bao gồm hai phần $S_1,S_2$ như hình vẽ trên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^2-2x$, $y=-x^2+4x$ và hai đường thẳng $x=-1,x=4$ là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=-5x+x^2$, $y=-x^2+x$ và hai đường thẳng $x=-1,x=2$ là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=6x^2-30x+36$, $y=2x+1$ và các đường thẳng $x=2,x=3$.

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m${}^2$ và 100 000 đồng/m${}^2$. Số tiền cần sử dụng để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên này khi được làm tròn đến hàng nghìn sẽ xấp xỉ con số $\overline{abcd}000$. Số $\overline{abcd}$ là bao nhiêu?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng 20 m. Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu của mảnh đất hai hình bằng nhau giới hạn bởi hai đường parabol có hai đỉnh cách nhau 40 m và nhận đường trung bình của hình chữ nhật làm trục đối xứng (như hình vẽ bên dưới). Phần còn lại của mảnh đất người ta lát gạch. Tính diện tích phần lát gạch $(m^2)$ (kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng 10, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA$ và $OC$ đều bằng 4. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O$, $A$, $M$; parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O$, $C$, $M$. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).