Biết nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1{)}^2$ có dạng $a{x}^3+b{x}^2+cx+C$. Hãy tính $3a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ và có nguyên hàm là $F(x)$. Chọn khẳng định đúng

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu

Tìm nguyên hàm $\int \left(-x^2-x-3\right)dx$.

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi nói về nguyên hàm của hàm số f(x) thì có bao nhiêu phát biểu sau là phát biểu ĐÚNG?

Phát biểu 1: “Hàm số f(x) chỉ có một nguyên hàm duy nhất”

Phát biểu 2: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F’(x) = f(x)”

Phát biểu 3: “$\int a.f\left(x\right)dx=a\int f\left(x\right)dx,\left(a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\right)$”

Phát biểu 4: “$\int \left(a+f\left(x\right)\right)dx=a+\int f\left(x\right)dx,\left(a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\right)$”

Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f(x)<0,\forall x>0$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=(2x+1)f^2(x),\forall x>0$ và $f(1)=-\frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $f(1)+f(2)+...+f(2020)$.

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y=5x^4$