Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, đường thẳng $y=x-2$ và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ bên dưới). Diện tích của $(H)$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=5$ khi đó ${\int }_0^1[3f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=x$ và đồ thị của hàm số $y=x^2-2x$ bằng

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=-x^2+4$ và trục hoành $Ox$. Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng, được mô phỏng bởi đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;1)$, cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$). Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung $AB$ được dùng để trồng Hoa Hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung $AB$) được dùng để trồng Cỏ Nhật.

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=5$ thì ${\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng

Biết ${\int }_1^2\frac{2x+3}{x^2+2x+1}dx=a\ln 3+b\ln 2+\frac{1}{c}$ với $a,b$ là các số nguyên. Khi đó $a+b+c$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x\cos 2x,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó ${\int }_0^{\pi /2}f(x)dx$ bằng