Cho đường thẳng $\Delta :3x-4y-19=0$ và đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25$. Biết đường thẳng $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$, khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ là bao nhiêu?

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị tính trên các trục là km), một trạm radar được đặt tại điểm $I(2;1)$ có bán kính theo dõi là 10 km. Một vật thể bay chuyển động thẳng đều từ điểm $A(12;5)$ đến điểm $B(-8;-7)$ với vận tốc không đổi là 600 km/h. Hỏi vật thể bay nằm trong vùng theo dõi của trạm radar trong khoảng thời gian bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

2.1. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2AD$ và tâm đối xứng là $I(2;2)$. Biết cạnh $AB$ đi qua điểm $M(2;4)$, cạnh $CD$ đi qua điểm $N(0;-2)$ và điểm $D$ có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.

2.2. Cho hai đường tròn $(C_1):(x-4{)}^2+(y-1{)}^2=4$, $(C_2):(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=10$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(7;-4)$ và cắt hai đường tròn trên theo hai dây cung bằng nhau.

Trong công viên có một cái ghế được tạo hình là một đường thẳng $\Delta$ đặt trong một khung tròn $(C)$ như hình minh họa (nguồn Chat GPT). Nếu đặt trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ thích hợp, cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;2)$ và phương trình đường thẳng $\Delta :x-y+1=0$. Biết $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông. Tính bán kính của đường tròn $(C)$.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-11=0$, điểm $A(1;2)$ thuộc đường tròn và đường thẳng $d:4x-3y+5=0$.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=6$ và đường thẳng $d:x+2y+1=0$. Khi đó $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A,B$. Tính diện tích $\Delta IAB$. (với $I$ là tâm của đường tròn $(C)$).

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-2y-20=0$ và đường thẳng $(\Delta ):3x+4y-m=0$. Tìm giá trị dương của tham số $m$ để đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ theo một dây cung có độ dài bằng $6$.