Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{3}\\ u_{n+1}+\frac{1}{2}=2\left(u_n+\frac{1}{4}\right)\end{array}$$
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức $u_{n+1}+\frac{1}{2}=2\left(u_n+\frac{1}{4}\right)=2u_n+\frac{1}{2}$ suy ra $u_{n+1}=2u_n$. Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{3}$, công bội $q=2$, do đó $u_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}$.
a) Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{u_1(2^{10}-1)}{2-1}=\frac{1}{3}\cdot 1023=341$. Đúng.
b) $u_5=\frac{1}{3}\cdot 2^4=\frac{16}{3}\ne 3$. Sai.
c) Với $n=1$: $u_1=2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$ nhưng với $n=2$: $u_2=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}\ne \frac{2}{3}$ (vì $u_2=2u_1=\frac{2}{3}$). Sai.
d) $u_5=\frac{16}{3}$, vậy $\frac{16}{3}$ là số hạng thứ 5 của dãy. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức MD 1112 Phần II Câu 1: Đ-S-S-Đ (không có mâu thuẫn; nhận xét trong dữ liệu nguồn về ý d) là nhầm lẫn vì bảng đáp án cho ý d) là Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(u_n)$ cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{3}$, $q=2$; $S_{10}=\frac{1}{3}(2^{10}-1)=341$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{1}{3}\cdot 2^4=\frac{16}{3}\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $u_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}$; công thức $u_n=2n-\frac{5}{3}$ cho $u_2=\frac{7}{3}\ne \frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{16}{3}$ nên $\frac{16}{3}$ là số hạng thứ 5 của dãy.