Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\frac{n}{2^n-1}$ (với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Hai số hạng đầu tiên của dãy số đã cho lần lượt là

Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng $d_1:y=2x-1$ và $d_2:y=x$. Xây dựng dãy các điểm $(A_n)$ nằm trên $d_1$ và dãy các điểm $(B_n)$ nằm trên $d_2$ theo cách sau:
+) $A_1,B_1$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $x=\frac{3}{2}$ với $d_1$ và $d_2$;
+) Với mỗi số nguyên $n\ge 2$, $B_n$ là giao điểm của $d_2$ với đường thẳng đi qua $A_{n-1}$ song song với trục hoành, $A_n$ là giao điểm của đường thẳng $d_1$ với đường thẳng qua $B_n$ và song song với trục tung (quan sát hình vẽ).
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $h_n$ là độ dài đoạn thẳng $A_n{B}_n$. Tính $\frac{h_{20}}{1024}$.

Cho dãy số $(u_n)$ có công thức số hàng tổng quát $u_n=\frac{2n+5}{n^2+1}$. Số $\frac{35}{226}$ là số hàng thứ mấy của dãy số?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có công thức số hạng tổng quát $u_n=\frac{n}{n+2}$ $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Số hạng thứ 10 của dãy số có giá trị là

Cho dãy số $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$ có tính chất $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=2a_n-1,\forall n\ge 1$.
a) Tìm $a_1,a_2,a_3$.
b) Dãy $(b_n)$ được xác định bởi $b_1=-1$ và $b_{k+1}=a_k+b_k,\forall k\ge 1$.
Tìm $n$ để tổng $b_2+b_3+\cdots +b_n=2026$.

(7,0 điểm) Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn $a_{n+1}-\frac{4}{a_{n+1}}=a_n+\frac{4}{a_n},\forall n\ge 1$. Đặt $y_n=a_n^2+\frac{16}{a_n^2},\forall n\ge 1$.

a) Chứng minh $a_n+\frac{4}{a_n}=\sqrt{y_1+16n-8},\forall n\ge 1$.

b) Tính $\lim \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)$.

Dãy số nào dưới đây là dãy số hữu hạn?