Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_n=\frac{2n^2-1}{n^2+3}$. Tìm số hạng $u_5$.

Tìm số hạng thứ 5 của dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức số hàng tổng quát: $u_n=\frac{2n}{n+1}$.

Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hàng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Cho dãy số $(u_n)$, biết $\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_{n+1}=u_n+3\end{array}$ với $n\ge 1$. Khi đó:

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_n=\frac{1}{2-u_{n-1}},\forall n\ge 2\end{array}$$ Khi đó $u_4$ có giá trị bằng

Bài 5. (6,0 điểm)

Cho số nguyên dương $n$. Xét các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ thoả mãn $|x_i|\le 1,\forall i=1,2,...,n$; và $x_1+x_2+...+x_n=0$. Với mỗi $k\in \{1,2,...,n\}$, đặt $S_k=x_1+2x_2+...+k{x}_k$.

a) Chứng minh rằng tồn tại các số $p,q\in \{1,2,...,n\}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $S_p\le 0$ và $|S_q|\le \frac{2q+1}{4}$.

b) Khi $n\ge 3$, chứng minh rằng tồn tại các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi $k\in \{1,2,...,n\}$ ta đều có $|S_k|\ge \frac{2k+1}{4}$.

Bài 6. (7,0 điểm)

a) Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma (n)$ là tổng các ước dương của $n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của $2^{\sigma (n)}-1$.

b) Cho dãy số nguyên dương $(a_n{)}_{n\ge 1}$ và dãy các số nguyên tố $(p_n{)}_{n\ge 1}$ thoả mãn với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $p_n\mid a_n$ và $a_{n+1}=\frac{a_n}{p_n}\left(p_n^{1013}-1\right)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m$ chia hết cho 2026.