Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=2$, $u_2=4$. Tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng

Một quả bóng được phát lên từ vị trí gốc tọa độ $O$ trong hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị mét). Quả bóng bay theo quỹ đạo parabol nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt sân bóng $(Oxy)$ và rơi xuống vị trí cách $Ox$ $5\text{ m}$, cách $Oy$ $12\text{ m}$. Trong các lần nảy tiếp theo, đường đi của quả bóng luôn là parabol với: Độ cao cực đại bằng $75\%$ độ cao cực đại của lần nảy ngay trước đó; bề rộng (khoảng cách hai lần chạm đất liên tiếp) bằng $60\%$ bề rộng của lần nảy ngay trước đó. Biết độ cao cực đại của lần nảy đầu tiên là $4\text{ m}$. Sau lần nảy thứ $n$ ($n\in \mathbb{N}$) thì tổng độ dài hình chiếu vuông góc đường đi quả bóng lên mặt sân bằng $31,590208\text{ m}$. Trong lần nảy thứ $n$ đó, bóng đạt chiều cao cực đại tại $M(a;b;c)$. Tính $a+b+c$ và làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

Cho dãy số $(u_n)$: $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=3u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$. Gọi $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$. Nếu $S_n=29524$ thì giá trị $n$ bằng

Giá trị của tổng $S=1+3+3^2+\cdots +3^{2018}$ bằng

Thư viện trường học muốn thuê bác Bình thiết kế một bức vách gỗ trang trí hình vuông kích thước $6\text{ m}$ theo phong cách hình học. Bác Bình đề xuất ý tưởng: coi bức vách ban đầu là hình vuông $ABCD$, vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm $B$, bán kính $AB$ và phủ lớp keo epoxy màu cho phần giữa cung tròn với hình vuông $ABCD$. Từ giao điểm $N$ của đường chéo $BD$ và cung tròn, dựng hình vuông $BMNE$ và tiếp tục vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm $B$, bán kính $BM$ rồi phủ keo cho phần giữa cung tròn mới và hình vuông $BMNE$ (hình vẽ). Quá trình này lặp lại cho đến khi phủ keo được $5$ mảng màu.



Ngoài tiền công thiết kế và thi công là $\mathrm{10.000.000}$ đồng, thư viện phải trả chi phí vật tư keo epoxy là $300.000{\text{ đoˆˋng/1 m}}^2$. Tính tổng số tiền thư viện phải trả cho bác Bình (gồm tiền công và vật tư) theo đơn vị triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đất sét là một dạng vật chất đặc và mềm, có thể tạo thành nhiều hình dạng khác nhau nhưng thể tích không đổi. Đầu tiên ta có một cục đất sét với thể tích $1000{\text{ cm}}^3$, người ta nặn thành một khối lập phương đặc, sau đó khoét phần đất sét ở giữa để tạo thành một chậu không nắp (phần trong của chậu có dạng hình hộp chữ nhật) có độ dày bốn mặt bên và độ dày đáy bằng nhau và bằng $\frac{1}{10}$ độ dài cạnh của khối lập phương. Phần đất sét còn dư cũng được nặn thành một khối lập phương đặc và cũng khoét phần đất sét ở giữa để tạo thành một chậu không nắp với tỉ lệ giữa độ dày của các mặt và cạnh khối lập phương như trên. Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi được 5 cái chậu. Tính tổng thể tích nước mà 5 chậu đó có thể chứa (đơn vị là ${\text{cm}}^3$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Gọi $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_n)$. Biết $\frac{S_6}{S_3}=4$, tính $\frac{S_9}{S_{12}}$.