Cho ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x=5$. Tính $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[f(x)+2\sin x]\mathrm{d}x$.

Cho các số thực $a,b$ ($a<b$). Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thì

Trong hình bên, $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục $y=f(x)$ và đường thẳng đi qua hai điểm $A(-1;-1),B(1;1)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Biết ${\int }_0^{2}f(x)dx=2$ và ${\int }_2^{5}f(x)dx=-5$, khi đó ${\int }_0^{5}f(x)dx$ bằng

Diện tích $S$ của phần gạch sọc trong hình được tính bằng


Cho hàm số $f(x)$, biết $f(1)=1,f^{\prime }(x)=\frac{2x}{3x+1-\sqrt{3x+1}}$ với $x>0$. Khi đó ${\int }_1^{5}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $xf(x^3)+f(1-x^2)=-x^8+2x^5-3x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Khi đó tích phân ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx$ bằng