Chi phí (tính bằng nghìn đồng) trên mỗi đơn vị sản phẩm của một quy trình sản xuất bánh kẹo được mô hình hóa bởi công thức $c(t)=0,005t^2+0,02t+12,5$; trong đó $0\le t\le 12$ là thời gian, tính theo tháng. Tính chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm đó trong khoảng thời gian một năm.

Chi phí (tính bằng nghìn đồng) trên mỗi đơn vị sản phẩm của một quy trình sản xuất bánh kẹo được mô hình hóa bởi công thức $c(t)=0,005t^2+0,02t+12,5$; trong đó $0\le t\le 12$ là thời gian, tính theo tháng. Tính chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm đó trong khoảng thời gian một năm.

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang ấm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
$N^{\prime }(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 10$).

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa dạng âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua thành đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
$N^{\prime }(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ $(0\le t\le 10)$.

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0004x+9,3$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là

Giả sử lợi nhuận biên tính bằng triệu đồng của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận tính bằng triệu đồng khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Ở nhiệt độ $37^{\circ }C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu $A$, chuyển hóa thành chất sản phẩm $B$ theo phương trình: $A\to B$. Giả sử $y(x)$ là nồng độ chất $A$ đơn vị mol/l tại thời điểm $x$ giây, $y(x)>0$ với $x\ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y^{\prime }(x)=-7.10^{-4}.y(x)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại $x=0$, nồng độ đầu của $A$ là $0,05$ mol/l. Xét hàm số $f(x)=\ln y(x)$ với $x\ge 0$. Khi đó ta có