Câu 5 (7 điểm). Ban tổ chức mời $n$ người mẫu đối một không quen nhau tham gia trình diễn thời trang trong một sự kiện. Để chuẩn bị cho buổi lễ, Ban tổ chức tiến hành 36 buổi diễn tập, mỗi buổi có ít nhất một người mẫu tham gia. Hai người mẫu trở nên quen nhau nếu họ cùng tham gia ít nhất một buổi diễn tập. Sau khi các buổi diễn tập kết thúc, người ta nhận thấy rằng số người quen của mỗi người mẫu không ít hơn số buổi diễn tập mà người mẫu đó tham gia.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho điều đó có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp số: $n_{\min }=7$.

Chuyển hóa: Gọi $d_i$ là số buổi diễn tập mà người mẫu $i$ tham gia, $a_i$ là số người quen của người mẫu $i$. Vì mỗi buổi có ít nhất một người tham gia, tổng số lượt tham gia $T=\sum d_i\ge 36$. Rõ ràng $a_i\le n-1$, và giả thiết cho $d_i\le a_i\le n-1$ với mọi $i$. Do đó $36\le T\le n(n-1)$, suy ra $n(n-1)\ge 36$, tức $n\ge 7$ (vì $6\cdot 5=30<36$, $7\cdot 6=42\ge 36$).

Kiểm tra $n=6$ bất khả thi: với $n=6$, mỗi người tham gia tối đa $a_i\le 5$ buổi nên $T\le 6\cdot 5=30<36$, mâu thuẫn với việc có 36 buổi mỗi buổi ít nhất một người. Vậy $n\ge 7$.

Xây dựng ví dụ với $n=7$: Người mẫu $1,2,\dots ,7$. Tổ chức:
- 1 buổi diễn tập có cả 7 người tham gia;
- 35 buổi diễn tập đơn (mỗi buổi đúng một người), trong đó mỗi người mẫu tham gia đúng 5 buổi đơn.

Tổng số buổi: $1+35=36$, mỗi buổi có ít nhất một người. Mỗi người mẫu tham gia $1+5=6$ buổi, và nhờ buổi chung cả 7 người, mỗi người quen đúng 6 người (tất cả những người còn lại). Vậy số người quen $(6)$ không ít hơn số buổi tham gia $(6)$ với mọi người mẫu. Điều kiện thỏa mãn.

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của $n$ là $\boxed{7}$.