Câu 5. (4,0 điểm) Có 49 quả bóng với 7 màu khác nhau, mỗi màu có đúng 7 quả bóng. Ta xếp ngẫu nhiên tất cả 49 quả bóng thành một hàng ngang. Trong hàng ngang đó, một quả bóng $F$ được gọi là "tốt" nếu ở mỗi bên của $F$ tổng số các quả bóng khác màu với $F$ đều là số lẻ.
a) Tìm một cách xếp có đúng 3 quả bóng "tốt".
b) Tìm số lượng quả bóng "tốt" nhỏ nhất có thể.
c) Nếu bổ sung thêm điều kiện là mỗi quả bóng phải cùng màu với ít nhất một quả bóng kề nó, thì số lượng quả bóng "tốt" nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

Đánh số các vị trí trong hàng từ trái sang phải là $1,2,\dots ,49$. Với mỗi quả bóng, gọi $i$ là vị trí của nó trong hàng và $j$ là thứ tự của nó trong 7 quả bóng cùng màu (tính từ trái sang phải). Số bóng khác màu ở bên trái quả bóng đó là $(i-1)-(j-1)=i-j$. Tổng số bóng khác màu ở hai bên bằng 42, nên quả bóng đó tốt khi và chỉ khi $i,j$ khác tính chẵn, lẻ. Kí hiệu $A,B,C,D,E,F,G$ là 7 màu, và $A^m$ thể hiện rằng $m$ quả bóng màu $A$ được xếp liên tiếp.
a) Xếp các quả bóng theo thứ tự $A^6{B}^6{C}^6{D}^6{E}^6{F}^6{G}^{6}ABCDEFG$.
Trong 42 quả bóng đầu, $i,j$ cùng tính chẵn, lẻ nên không có bóng tốt. Còn 7 quả bóng cuối đều có $j=7$, nên chỉ các quả bóng ở vị trí 44, 46, 48 là tốt. Vậy cách xếp này có đúng 3 quả bóng tốt.
b) Gọi $x,y$ lần lượt là số bóng tốt ở vị trí chẵn và số bóng tốt ở vị trí lẻ. Khi đó, $x$ quả bóng có $i$ chẵn, $j$ lẻ, còn $y$ quả bóng có $i$ lẻ, $j$ chẵn.
Mỗi màu có 4 quả bóng với thứ tự $j$ lẻ, nên có tất cả $7\cdot 4=28$ quả bóng có $j$ lẻ.
Vì có $x$ quả bóng ở vị trí chẵn, nên có $28-x$ quả bóng ở vị trí lẻ.
Do hàng có 25 vị trí lẻ, ta được $(28-x)+y=25$, suy ra $x=y+3$.
Vì vậy, tổng số bóng tốt là $x+y=3+2y\ge 3$.
Kết hợp với cách xếp ý a) cho ta dấu bằng, nên số bóng tốt nhỏ nhất là 3.
c) Mỗi quả bóng tốt ở vị trí chẵn phải kề ít nhất một quả bóng cùng màu. Hai quả bóng cùng màu kề nhau có vị trí trong hàng và thứ tự trong màu đều liên tiếp. Vì thế, quả bóng kề đó có $i$ lẻ, $j$ chẵn, tức là một quả bóng tốt ở vị trí lẻ.
Như vậy, mỗi quả bóng thuộc loại $x$ kề ít nhất một quả bóng thuộc loại $y$, còn mỗi quả bóng thuộc loại $y$ chỉ có thể kề tối đa hai quả bóng thuộc loại $x$. Suy ra $x\le 2y$.
Kết hợp với $x=y+3$, ta được $y\ge 3$. Do đó, số bóng tốt là $x+y=3+2y\ge 9$.
Để đạt dấu bằng, xếp các quả bóng theo thứ tự $A^4{B}^4{C}^4{D}^4{E}^4{F}^4{G}^4{A}^3{B}^3{C}^3{D}^3{E}^3{F}^3{G}^3$.
Mỗi quả bóng đều kề ít nhất một quả bóng cùng màu. Trong 28 quả bóng đầu, $i,j$ cùng tính chẵn, lẻ nên không có bóng tốt.
Còn ở phần cuối, bóng đầu của mỗi nhóm có thứ tự $j=5$ trong màu. Các nhóm $B^3,D^3,F^3$ bắt đầu ở vị trí chẵn nên cả ba bóng trong mỗi nhóm đều tốt. Các nhóm còn lại bắt đầu ở vị trí lẻ nên không có bóng tốt.
Vậy cách xếp này có đúng $3\cdot 3=9$ quả bóng tốt, nên số bóng tốt nhỏ nhất là 9.