Câu 5. (3 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=3$. Chứng minh rằng $\frac{1}{u_3-u_1}+\frac{1}{u_4-u_2}+\frac{1}{u_5-u_3}+\dots +\frac{1}{u_{2026}-u_{2024}}<\frac{2}{3}$.

Bạn Hoàng chơi trò chơi tô màu trên một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 1. Hoàng tô màu theo các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, … Hình vuông đầu tiên có cạnh bằng một nửa cạnh miếng bìa, cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu (như hình vẽ) của Hoàng diễn ra đến hình vuông thứ 20. Khi đó tổng diện tích mà Hoàng đã tô màu là bao nhiêu?

Giả sử $(u_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q\ne 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$, khi đó

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 1, $C_2$ là hình vuông có các đỉnh là các trung điểm của cạnh hình vuông $C_1$. Tương tự, gọi $C_3$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông $C_2$. Tiếp tục như vậy ta được một dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n,\dots$ Gọi $S_{10}$ là tổng diện tích của 10 hình vuông đầu tiên của dãy. Tính $512S_{10}$.

Một hình tam giác đều màu trắng có cạnh 1 đơn vị được chia thành bốn hình tam giác nhỏ hơn và hình tam giác ở chính giữa được tô màu đỏ. Mỗi hình tam giác màu trắng nhỏ hơn lại được chia thành bốn hình tam giác con, và mỗi hình tam giác con ở chính giữa lại được tô màu đỏ.

a. Tính diện tích tam giác đều đỏ ?

b. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại 5 lần, hãy tìm tổng diện tích các hình tam giác không được tô màu đỏ.

Một hình tam giác đều màu trắng có cạnh 1 đơn vị được chia thành bốn hình tam giác nhỏ hơn và hình tam giác ở chính giữa được tô màu đỏ. Mỗi hình tam giác màu trắng nhỏ hơn lại được chia thành bốn hình tam giác con, và mỗi hình tam giác con ở chính giữa lại được tô màu đỏ.

a. Tính diện tích tam giác đều đó ?

b. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại 5 lần, hãy tìm tổng diện tích các hình tam giác không được tô màu đỏ.

Một hình tam giác đều màu trắng có cạnh 1 đơn vị được chia thành bốn hình tam giác nhỏ hơn và hình tam giác ở chính giữa được tô màu đỏ. Mỗi hình tam giác màu trắng nhỏ hơn lại được chia thành bốn hình tam giác con, và mỗi hình tam giác con ở chính giữa lại được tô màu đỏ.

a. Tính diện tích tam giác đều đỏ ?

b. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại 5 lần, hãy tìm tổng diện tích các hình tam giác không được tô màu đỏ.