Câu 4 (3,0 điểm).

Một bồn hoa hình tròn ở giữa sân trường được chia thành 6 phần bằng nhau và giao nhiệm vụ cho 6 lớp 10 chọn trồng một trong 4 loại hoa là hoa cúc, hoa hồng, hoa lan, hoa hướng dương theo các khu vực hình quạt được phân công cụ thể như hình vẽ.



Hỏi có tất cả bao nhiêu phương án trồng hoa của các lớp sao cho hai lớp được phân công hai khu vực cạnh nhau thì không cùng trồng một loại hoa?

Gọi số phương án trồng hoa cần tìm là $a_6$ (ứng với 6 lớp).

Lớp 10A1 có 4 cách chọn hoa để trồng.

Lớp 10A2 có 3 cách chọn hoa để trồng khác với hoa mà lớp 10A1 đã chọn.

Tương tự cho các lớp 10A3, 10A4, 10A5, 10A6 cũng có 3 cách chọn.

Vậy có tất cả $4.3^5$ cách mà các lớp chọn hoa để trồng, tính luôn trường hợp lớp 10A6 và 10A1 chọn cùng loại hoa để trồng.

Ta xét trường hợp: lớp 10A6 và 10A1 chọn cùng loại hoa. Ta xem khu vực trồng hoa của 2 lớp này là một nhóm và xem như chỉ còn 5 khu vực (nhóm này và 4 khu vực của các lớp 10A2, 10A3, 10A4 và 10A5). Khi đó sẽ có $a_5$ cách trồng.

Ta có $a_6=4.3^5-a_5$.

Lớp 10A6 và 10A1 có 4 cách. Lớp 10A2 có 3 cách, lớp 10A3 có 3 cách, lớp 10A4 có 3 cách và lớp 10A5 có 3 cách.

Do đó có tất cả $4.3^4$ cách mà các lớp chọn hoa để trồng, tính luôn trường hợp lớp 10A5, 10A6 và 10A1 chọn cùng loại hoa để trồng.

Ta có $a_5=4.3^4-a_4$.

$a_4=4.3^3-a_3$.

Với $a_3$ là số phương án trồng hoa ứng với 3 khu vực nên $a_3=A_4^3=24$.

Do đó $a_6=4.3^5-a_5=4.3^5-\left(4.3^4-a_4\right)=4.3^5-4.3^4+4.3^3-a_3$.

Vậy có tất cả 732 phương án trồng hoa cho các lớp.