Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $SBD$ là tam giác đều, $SA=a\sqrt{2}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V_{S.ABCD}=\frac{m\sqrt{2}{a}^3}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m+2026n$ bằng bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 2 Phần III có đáp án là 6080.

Đặt cạnh hình vuông $ABCD$ là $x$ ($x>0$). Khi đó đường chéo $BD=x\sqrt{2}$.
Vì tam giác $SBD$ đều nên $SB=SD=BD=x\sqrt{2}$.
Trong tam giác vuông $SAB$ vuông tại $A$:
$S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2\iff (x\sqrt{2}{)}^2=(a\sqrt{2}{)}^2+x^2\iff 2x^2=2a^2+x^2\iff x^2=2a^2\Rightarrow x=a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD}=x^2=2a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}$.
Do đó $m=2,n=3$. Phân số $\frac{2}{3}$ tối giản.
Vậy $m+2026n=2+2026\cdot 3=2+6078=6080$.