Câu 1. Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Do ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Khẳng định a đúng.

b) Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x+2-x^2+2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$. Khẳng định b sai.

c) Cho $f^{\prime }(x)=0\iff x^2-2x-1=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$. Đạo hàm đổi dấu qua cả hai nghiệm này nên hàm số có hai điểm cực trị. Khẳng định c đúng.

d) Trên khoảng $(1;+\infty )$, hàm số liên tục, nghịch biến trên $(1;1+\sqrt{2})$ và đồng biến trên $(1+\sqrt{2};+\infty )$. Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1+\sqrt{2}$ với giá trị nhỏ nhất là $f(1+\sqrt{2})=2\sqrt{2}$. Khẳng định d sai.