Cận kề ngày Tết Nguyên Đán. Bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao $40cm$ để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh $L_0=10\sqrt{2}(cm)$. Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh $L_{max}=14\sqrt{2}(cm)$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol $y=f(x)$ trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục $Oxy$ với trục $Ox$ biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị mỗi trục là $1cm$)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi trục $Ox$ là trục thẳng đứng qua tâm đáy, đáy tại $x=-20$, đỉnh tại $x=20$ (chiều cao 40cm). Vì mặt cắt đứng chứa đường chéo đáy, parabol $y=f(x)$ cho nửa đường chéo của mặt cắt ngang tại độ cao $x$.

a) Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông có cạnh $L_{max}=14\sqrt{2}$ là $S=(14\sqrt{2}{)}^2=392c{m}^2\ne 196c{m}^2$. → Sai.

b) Parabol đỉnh $(0;14)$, đi qua $(\pm 20;10)$ (vì nửa đường chéo đáy $=\frac{10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=10$): $f(x)=a{x}^2+14$, $400a+14=10\Rightarrow a=\frac{-1}{100}$. Vậy $f(x)=\frac{-1}{100}{x}^2+14$. → Đúng.

c) Cạnh mặt cắt ngang tại độ cao $x$ là $L(x)=\sqrt{2}f(x)$, diện tích $L(x{)}^2=2f(x{)}^2$. Thể tích:
$$V={\int }_{-20}^{20}2{\left(14-\frac{x^2}{100}\right)}^{2}dx=2{\int }_{-20}^{20}\left(196-\frac{28x^2}{100}+\frac{x^4}{10^4}\right)dx$$
$=2\left(7840-\frac{4480}{3}+128\right)=2\cdot 6474,67=12949,33c{m}^3\approx 12,95$ lít. → Đúng.

d) Tâm bóng đèn cách đáy 22cm nên có tọa độ $x=-20+22=2$, tức điểm $C(2;0)$. Mặt cắt ngang là hình vuông nửa đường chéo $f(x)$, nên khoảng cách từ trục tới cạnh (điểm gần nhất trên lồng đèn) là $\frac{L(x)}{2}=\frac{f(x)}{\sqrt{2}}$. Khoảng cách từ $C$ đến lồng đèn:
$$d^2(x)=(x-2{)}^2+\frac{f(x{)}^2}{2}=(x-2{)}^2+\frac{1}{2}{\left(14-\frac{x^2}{100}\right)}^2$$
$$d^{\prime }(x)=0\iff 2(x-2)-\frac{x}{50}\left(14-\frac{x^2}{100}\right)=0\iff x^3+8600x-20000=0\iff x\approx 2,3242$$
Khi đó $f(2,3242)\approx 13,946$, $d_{min}=\sqrt{(0,3242{)}^2+\frac{13,946^2}{2}}\approx 9,8666cm$. Bán kính lớn nhất: $r=d_{min}-7\approx 2,8666cm$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích lớn nhất là $(14\sqrt{2}{)}^2=392c{m}^2$, không phải $196c{m}^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol đỉnh $(0;14)$ qua $(\pm 20;10)$ nên $f(x)=\frac{-1}{100}{x}^2+14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-20}^{20}2f(x{)}^{2}dx=12949,33c{m}^3\approx 12,95$ lít.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm bóng tại $x=2$; $d_{min}\approx 9,8666cm$ tại $x\approx 2,3242$; $r_{max}=d_{min}-7\approx 2,8666cm$.