Một kỹ sư A thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5(\text{m})$. Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ). Diện tích của thiết diện là $S(x)$ và chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $h=3-\frac{2}{5}x$ với $x(\text{m})$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa thiết diện.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $6x$ và $\sqrt{9-x^2}$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $6x$ và $\sqrt{9-x^2}$.

Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu thể thao là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Bề mặt tiếp xúc với mặt đất là một hình chữ nhật, giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2$ m. Thiết diện của tường cong khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một tam giác cong $ACE$ vuông tại $C$ với $AC=4$ m, $CE=3$ m, cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm $AC$ thì đường cong có độ cao 1 m (xem hình vẽ sau).

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $(0\le x\le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left(10+\sqrt{x}\right)$ (cm). Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

Một bồn nước được thiết kế với chiều cao 8dm, ngang 8dm, dài 30dm, bề mặt cong đều nhau với mặt cắt ngang là một hình parabol như hình vẽ bên dưới. Bồn chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

Cho một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x=-1$ và $x=1$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x(-1\le x\le 1)$ cắt vật thể đó theo một mặt cắt là hình vuông có cạnh bằng $3x$. Thể tích $V$ của vật thể đó bằng: