Bất phương trình ${\log }_4{x}^2+{\log }_2(x+3)\le 1+{\log }_2(2x+3)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>-\frac{3}{2}$ và $x\ne 0$. Vì ${\log }_4{x}^2={\log }_2|x|$, bất phương trình trở thành ${\log }_2(|x|(x+3))\le {\log }_2(2(2x+3))$, tức $|x|(x+3)\le 4x+6$. Với $x>0$: $x^2+3x\le 4x+6\iff x^2-x-6\le 0\iff -2\le x\le 3$, kết hợp $x>0$ được $x\in (0;3]$ cho nghiệm nguyên $1,2,3$. Với $-\frac{3}{2}<x<0$: $-x(x+3)\le 4x+6\iff x^2+7x+6\ge 0\iff (x+1)(x+6)\ge 0\iff x\le -6$ hoặc $x\ge -1$, kết hợp điều kiện được $x\in [-1;0)$ cho nghiệm nguyên $-1$. Vậy có $4$ nghiệm nguyên.