Cho hàm số $y=m{x}^2+\left(4-m^2\right)x+n\ln x$ (với $m$, $n$ là các tham số thực). Biết rằng hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=\frac{1}{2}$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=1$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+2$ có đồ thị (C). Biết (C) nhận điểm $A(2;-2)$ làm điểm cực trị. Gọi $I(x_0;y_0)$ là tâm đối xứng của (C). Tính $2x_0-y_0$.

a) Trong mặt phẳng $Oxy$, đồ thị của hàm số $y=x^3-3m{x}^2+4m^3$ ($m$ là tham số) có 2 điểm cực trị $A$, $B$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân.

b) Từ xã $A$ đến xã $B$ chỉ có 2 con đường $AFB$ hoặc $AEB$ (với $AFBE$ là hình chữ nhật như hình vẽ) và các đoạn đường $AF$, $AE$ có độ dài lần lượt là 5km và 3km. Người ta muốn xây một con đường mới từ xã $A$ đến xã $B$ bằng cách như sau: chọn một vị trí $K$ trên đoạn đường $BE$, xây con đường mới đi thẳng từ vị trí điểm $K$ đến xã $A$ rồi sau đó nâng cấp đoạn đường từ xã $B$ đến $K$ để đưa vào sử dụng. Hỏi vị trí điểm $K$ cách xã $B$ bao nhiêu km để chi phí xây con đường $BKA$ thấp nhất? Biết rằng chi phí xây mỗi km đường mới gấp $\frac{5}{4}$ lần chi phí nâng cấp 1km đường cũ.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$ và $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm thực phân biệt.

1. Cho hàm số $y=x^4-8m{x}^2+16m^2+m-1$ (với $m$ là tham số thực) có đồ thị là $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị $(C_m)$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm trực tâm.

2. Bể bơi của một trung tâm thể dục thể thao có chiều dài 26m và chiều rộng 8 m. Dọc theo chiều dài, bể được chia thành ba khu vực: khu vực I (dành cho người lớn) có chiều dài 10 m, độ sâu 2 m; khu vực II (dành cho trẻ em) có chiều dài 8 m, độ sâu 1,2 m; khu vực trung gian nằm giữa hai khu vực trên (Hình 1). Ban đầu bể không có nước, sau đó nước được bơm vào bể với lưu lượng 2 m³/phút. Tính tốc độ dâng của mực nước trong bể tại thời điểm mực nước ở khu vực I cao 0,3m.



Hình 1

Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+(m^2+2)x-m+1$ đạt cực đại tại $x=1$.

Tìm giá trị của tham số $m$ để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-9x+m$ thuộc đường thẳng $d:y=x+1$.