Ba bạn An, Bình, Chi mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc phạm vi $[1;22]$. Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng là một số không chia hết cho 3.

Ta có $n(\Omega )=22^3=10648$.
Xét các số tự nhiên thuộc $[1;22]$
Tập các số chia hết cho 3 là $X=\{3;6;9;12;15;18;21\}$ có 7 phần tử,
Tập các số chia 3 dư 1 là $Y=\{1;4;7;9;13;16;19;22\}$ có 8 phần tử
Tập các số số chia 3 dư 2 là $Z=\{2;5;8;11;14;17;20\}$ có 7 phần tử
Gọi A là biến cố: “ ba số được viết ra có tổng là một số không chia hết cho 3 ”
Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: “ba số được viết ra có tổng là một số chia hết cho 3”
Để thuận lợi cho $\overline{A}$ xảy ra một trong các trường hợp sau:
TH1: Cả 3 số viết ra đều chia hết cho 3 nên sẽ có ${\left(C_7^1\right)}^3=7^3$ cách viết.
TH2: Cả 3 số viết ra đều chia cho 3 dư 1 nên sẽ có ${\left(C_8^1\right)}^3=8^3$ cách viết.
TH3: Cả 3 số viết ra đều chia cho 3 dư 2 nên sẽ có ${\left(C_7^1\right)}^3=7^3$ cách viết.
TH4: Trong 3 số viết ra có 1 số chia hết cho 3, có 1 số chia cho 3 dư 1, có 1 số chia cho 3 dư 2 nên ta có $C_7^1.C_8^1.C_7^1.3!=\mathrm{7.8.7.3}!$ cách viết.
Khi đó xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 là
$$P\left(\overline{A}\right)=\frac{7^3+8^3+7^3+\mathrm{7.8.7.3}!}{10648}=\frac{1775}{5324}.$$
Vậy xác suất để ba số được viết ra có tổng không chia hết cho 3 là $1-\frac{1775}{5324}=\frac{3549}{5324}$