a) Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BE$, $CF$. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $AEF$. Biết $\widehat{BKC}=90°$, $BC=8$ cm. Tính độ dài đoạn thẳng $AK$.

b) Từ tập $X=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 100\}$, có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên bộ ba số $(a;b;c)$ sao cho đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2-2bx+c$ đi qua điểm $A(1;0)$ và có đỉnh không trùng với điểm $A$?

a)



Chứng minh $K$ cùng nằm trên đường tròn với $B,C,E,F$.

Ta có các đường cao $BE,CF$ của $△ABC$ nên $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^{\circ }$.

Suy ra 4 điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn tâm $M$ (trung điểm $BC$), đường kính $BC=8$. Bán kính đường tròn này là 4 cm.

Mặt khác, giả thiết cho $\widehat{BKC}=90^{\circ }$, suy ra điểm $K$ cũng nằm trên đường tròn tâm $M$ đường kính $BC$.

Như vậy, 3 điểm $E,F,K$ cùng nằm trên đường tròn $(M)$ có bán kính bằng 4.

Mặt khác đường tròn ngoại tiếp $△AEF$ đối xứng với đường tròn ngoại tiếp $△KEF$ qua $EF$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $△EFK$ là 4 cm.

Tìm góc $\widehat{BAC}$.

Vì tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ suy ra $△AEF\sim △ABC$ (g.g).

Mặt khác $\frac{AE}{AB}=\cos \widehat{BAC}$ nên tỉ số đồng dạng của 2 tam giác này là $k=\cos \widehat{BAC}$.

Dẫn đến $R^{\prime }=R\cdot \cos \widehat{BAC}$ (với $R$ và $R^{\prime }$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $△ABC$ và $△AEF$).

Áp dụng định lý sin cho $△ABC$: $2R=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}=\frac{4}{\sin \widehat{BAC}}$.

Thay vào biểu thức trên: $4=\left(\frac{4}{\sin \widehat{BAC}}\right)\cdot \cos \widehat{BAC}\iff \cot \widehat{BAC}=1\Rightarrow \widehat{BAC}=45^{\circ }$.

Tính độ dài $AK$.

Trong $△AEF$, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R^{\prime }=4$ và góc $\widehat{EAF}=45^{\circ }$.

Áp dụng định lý Sin cho $△AEF$: $EF=2R^{\prime }\sin \widehat{BAC}=2\cdot 4\cdot \sin 45^{\circ }=4\sqrt{2}$.

Gọi $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $△AEF$, $I$ là trung điểm cạnh $EF$.

Theo tính chất đường thẳng Euler, khoảng cách từ đỉnh đến trực tâm gấp đôi khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến cạnh đối diện: $AK=2\cdot NI$.

Trong tam giác vuông $NIF$ (vuông tại $I$):
$$NI=\sqrt{N{F}^2-I{F}^2}=\sqrt{(R^{\prime }{)}^2-{\left(\frac{EF}{2}\right)}^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$$
Vậy độ dài đoạn thẳng $AK=2\cdot NI=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ cm.

b) Đồ thị hàm số đi qua $A(1;0)$ suy ra $a\cdot 1^2-2b\cdot 1+c=0\iff a+c=2b$.

Đồ thị là parabol của hàm số bậc hai nên $a\ne 0$.

Tọa độ đỉnh không trùng với $A$ suy ra $\frac{b}{a}\ne 1\Rightarrow a\ne b$, dẫn đến $a\ne c$.

Vậy ta cần chọn bộ 3 số $(a,b,c)$ từ $X$ sao cho $a+c=2b$, $a\ne c$ và $a\ne 0$.

Điều kiện $a+c=2b$ đồng nghĩa với việc $a$ và $c$ phải cùng tính chẵn lẻ. Ứng với mỗi cách chọn $(a,c)$ thỏa mãn, có duy nhất một giá trị $b=\frac{a+c}{2}\in X$.

Trong tập $X$ có 51 số chẵn (từ 0 đến 100) và 50 số lẻ (từ 1 đến 99).

Trường hợp 1: $a$ và $c$ cùng chẵn.

Chọn $a\in X$ là số chẵn khác 0: có 50 cách.

Chọn $c\in X$ là số chẵn khác $a$: có $51-1=50$ cách.

Số cách chọn bộ $(a,c)$ trong trường hợp này là: $50\times 50=2500$ cách.

Trường hợp 2: $a$ và $c$ cùng lẻ.

Chọn $a\in X$ là số lẻ: có $50$ cách (do không chứa $0$).

Chọn $c\in X$ là số lẻ khác $a$: có $50-1=49$ cách.

Số cách chọn bộ $(a,c)$ trong trường hợp này là: $50\times 49=2450$ cách.

Vậy có tất cả $2500+2450=4950$ cách chọn.