a) Cho đa giác đều $A_1{A}_2...A_{36}$ nội tiếp đường tròn $(O;\sqrt{2})$. Chọn ba điểm bất kì từ 36 đỉnh của đa giác đều trên. Tính xác suất để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên.

b) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, tam giác $SAB$ cân tại đỉnh $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$. Khoảng cách từ điểm $H$ đến đến mặt phẳng $(SED)$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính thể tích khối chóp $G.AHED$.

a) Không gian mẫu: Chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 36 đỉnh là $n(\Omega )=C_{36}^3=7140$.

Để 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông nội tiếp đường tròn thì tam giác đó phải nhận 1 trong 18 đường kính của đa giác làm cạnh huyền.

Giả sử cạnh huyền là $BC=2R=2\sqrt{2}$.

Chọn 1 điểm $A$ khác $B,C$ trong 34 điểm còn lại.

Diện tích tam giác vuông là $S=\frac{1}{2}BC\cdot h=h\sqrt{2}$, với $h$ là khoảng cách từ $A$ đến $BC$.

Mỗi cung nhỏ chặn giữa 2 đỉnh kề nhau có số đo $10^{\circ }$.

Khoảng cách $h=R\sin (k\cdot 10^{\circ })=\sqrt{2}\sin (10^{\circ }\cdot k)$, với $k\in \{1,2,\dots ,17\}$.

Khi đó $S=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\sin (10^{\circ }\cdot k)=2\sin (10^{\circ }\cdot k)$.

Để $S$ là số nguyên, mà $0<2\sin (10^{\circ }\cdot k)\le 2$, nên $S\in \{1;2\}$.

Trường hợp 1: $S=1\iff \sin (10^{\circ }\cdot k)=\frac{1}{2}\iff 10^{\circ }\cdot k\in \{30^{\circ },150^{\circ }\}\iff k\in \{3,15\}$.

Ứng với mỗi đường kính, có 4 điểm $A$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $S=2\iff \sin (10^{\circ }\cdot k)=1\iff 10^{\circ }\cdot k=90^{\circ }\iff k=9$.

Ứng với mỗi đường kính, có 2 điểm $A$ thỏa mãn.

Số tam giác vuông có diện tích nguyên là: $18\times (4+2)=108$ tam giác.

Xác suất cần tìm là: $P=\frac{108}{7140}=\frac{9}{595}$.

b)



Do $△SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên đường cao của chóp chính là $SH$. Đặt $SH=h$.

Kẻ $HK\perp ED$ tại $K$, kẻ $HL\perp SK$ tại $L$. Khi đó $HL\perp (SED)\Rightarrow d(H,(SED))=HL=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Khoảng cách từ trung điểm $H$ của $AB$ đến đường thẳng $ED$ trong hình vuông $ABCD$ cạnh $2a$ là $HK=\frac{3a}{\sqrt{5}}$.

Trong tam giác vuông $SHK$:
$$\frac{1}{H{L}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}\iff \frac{1}{(a\sqrt{6}/2{)}^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{(3a/\sqrt{5}{)}^2}$$
$$\iff \frac{2}{3a^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{5}{9a^2}\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{9a^2}\Rightarrow h=3a.$$

Khoảng cách từ trọng tâm $G$ của $△SCD$ xuống đáy là $\mathrm{d}(G,(ABCD))=\frac{1}{3}SH=a$.

Diện tích đa giác $AHED$ là:
$$S_{AHED}=S_{ABCD}-S_{HBE}-S_{CDE}=(2a{)}^2-\frac{1}{2}\cdot a\cdot a-\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a=\frac{5a^2}{2}.$$

Thể tích: $V_{G.AHED}=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{d}(G,(ABCD))\cdot S_{AHED}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot \frac{5a^2}{2}=\frac{5a^3}{6}$.