a) Trong mặt phẳng $Oxy$, đồ thị của hàm số $y=x^3-3m{x}^2+4m^3$ ($m$ là tham số) có 2 điểm cực trị $A$, $B$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân.

b) Từ xã $A$ đến xã $B$ chỉ có 2 con đường $AFB$ hoặc $AEB$ (với $AFBE$ là hình chữ nhật như hình vẽ) và các đoạn đường $AF$, $AE$ có độ dài lần lượt là 5km và 3km. Người ta muốn xây một con đường mới từ xã $A$ đến xã $B$ bằng cách như sau: chọn một vị trí $K$ trên đoạn đường $BE$, xây con đường mới đi thẳng từ vị trí điểm $K$ đến xã $A$ rồi sau đó nâng cấp đoạn đường từ xã $B$ đến $K$ để đưa vào sử dụng. Hỏi vị trí điểm $K$ cách xã $B$ bao nhiêu km để chi phí xây con đường $BKA$ thấp nhất? Biết rằng chi phí xây mỗi km đường mới gấp $\frac{5}{4}$ lần chi phí nâng cấp 1km đường cũ.

a) Giải phương trình $(3x-1)\sqrt{3x-2}=7x^2-13x+8$.

b) Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x{y}^2\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)=3\sqrt{9+y^2}+3y\\ (x^{2}y-1)\sqrt{x^{2}y+xy-5}+3x^{2}y=7x^2-4x+8\end{array}$$

a) Cho đa giác đều $A_1{A}_2...A_{36}$ nội tiếp đường tròn $(O;\sqrt{2})$. Chọn ba điểm bất kì từ 36 đỉnh của đa giác đều trên. Tính xác suất để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên.

b) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, tam giác $SAB$ cân tại đỉnh $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$. Khoảng cách từ điểm $H$ đến đến mặt phẳng $(SED)$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính thể tích khối chóp $G.AHED$.

a) Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BE$, $CF$. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $AEF$. Biết $\widehat{BKC}=90°$, $BC=8$ cm. Tính độ dài đoạn thẳng $AK$.

b) Từ tập $X=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 100\}$, có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên bộ ba số $(a;b;c)$ sao cho đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2-2bx+c$ đi qua điểm $A(1;0)$ và có đỉnh không trùng với điểm $A$?

a) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=11$ và $u_{n+1}+15n+1=4u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Xác định công thức tổng quát của $(u_n)$ và tìm tất cả giá trị $n$ để $u_n$ là một số chính phương.

b) Trường của Hoàng có tất cả là $n$ lớp. Lớp đông nhất trường có $M$ học sinh. Hôm nay, lớp Hoàng có giờ học ngoại khóa với chủ đề “Thống Kê và Tính Toán”. Nhóm trưởng nhóm của Hoàng phân công các bạn làm việc như sau:

• Hoàng lập dãy số $a_1;a_2;...;a_n$ là số học sinh từng lớp trong trường.

• Hùng lập dãy số $b_1;b_2;...;b_M$ với $b_i$ là số lượng các lớp trong trường mà số học sinh trong mỗi lớp đó không ít hơn $i$ học sinh.

• Sơn tính giá trị $S$ là tổng lập phương mọi số mà Hoàng lập được.

• An tính giá trị $A$ là tổng tất cả giá trị $b_i$ mà Hùng lập được.

• Bình tính giá trị $B$ là tổng tất cả giá trị $i.b_i$.

• Chí tính giá trị $C$ là tổng tất cả giá trị $i^2{b}_i$.

Chứng minh rằng: $S=A-3B+3C$.