$\lim \left(\frac{1}{n}+2\right)$ bằng

Cho dãy số $(x_n)$, với $x_1=a>1$ và $x_{n+1}=x_n-\ln x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Đặt $S_n={\sum }_{k=1}^{n-1}(n-k)\ln \sqrt{x_k},\forall n=2,3,\dots$ Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{S_n}{n}$.

Câu 1 (5 điểm). Với mỗi số nguyên dương $n$, xét đa thức $P_n(x)=x^{3n}-3\cdot 4^{n-1}{x}^n-2^{3n-3}$.
a) Chứng minh $P_n(x)$ có đúng một nghiệm thực dương, kí hiệu là $a_n$.
b) Đặt $b_n=\frac{2-a_n}{n}$ và $c_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$. Chứng minh dãy số ${\left(c_n\right)}_{n=1}^{\infty }$ có giới hạn hữu hạn.

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Bài 1. (6,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, xét phương trình
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots +\frac{1}{n(x+n)}=1.$$
a) Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất $x_n$ với mỗi $n\ge 2$.
b) Đặt $y_n=n^{\frac{1}{2026}}(1-x_n),\forall n\ge 2$. Tính $\lim y_n$.

Cho $(a_n)$ là dãy số được xác định bởi $a_1=2$ và $a_n=2a_{n-1}^2-1$, $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2$.

Tính giới hạn ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2^{n-1}(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)\cdots (a_1+1)}{a_n}$.

Cho $a$ là số thực thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{(a-1)n+2}{2n+9}=1$, khẳng định nào sau đây đúng?