Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $BI,CI,DI$ lần lượt cắt đường thẳng $EF$ tại $M,N,K$. Các điểm $P,Q$ nằm trên $BM,CN$ sao cho $CP$ và $BQ$ cùng song song với $AI$.

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $IBC,IMN,IPQ$ có một điểm chung khác $I$.

b) Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $E$ và $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $S$ vuông góc với $TK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$.

Trên bảng có viết dãy các số $0,1,2,\dots ,n$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ. An và Bình cùng chơi một trò chơi bằng cách thay phiên nhau xoá các số có trên bảng. An là người đi trước. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là tổng của các số mà An và Bình đã xoá.

a) Giả sử $n=7$. Hỏi An có bao nhiêu cách xoá để $\gcd (A,B)=1$?

b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ lẻ sao cho An luôn có thể chọn các số để xoá thỏa mãn $\gcd (A,B)$ chẵn bất kể cách xoá số của Bình.

c) Với $n=81$, An thực hiện thao tác xoá các số sao cho giá trị của $\gcd (A,B)$ lớn nhất còn Bình thực hiện thao tác xoá sao cho giá trị của $\gcd (A,B)$ nhỏ nhất. Hỏi giá trị cuối cùng của $\gcd (A,B)$ là bao nhiêu nếu An và Bình đều thực hiện các thao tác xoá tối ưu?